Trục 2 gối đỡ, một lực hướng kính F và mô-men xoắn T. Kiểm tra tại tiết diện x (có rãnh then/vai trục): hệ số an toàn tĩnh SF và mỏi SD ≥ 1,2; độ võng, góc xoắn và tốc độ tới hạn.
Giải thích chi tiết
- Bài toán dùng để làm gì
- Hình dung đơn giản
- Kiến thức nền cần có
- Các đại lượng và lấy số liệu ở đâu
- Xây dựng công thức từng bước
- Ảnh động minh họa
- Lời giải mẫu từng bước
- Áp dụng thực tế và lưu ý
- Căn cứ và tài liệu tham khảo
Bài toán dùng để làm gì
Kiểm tra đầy đủ một trục 2 gối đỡ chịu một lực hướng kính F (từ bánh răng, puly, xích) và mô-men xoắn T, tại một tiết diện nguy hiểm (đầu rãnh then, vai trục). Bài toán trả lời: trục có gãy do quá tải đỉnh không (SF), có gãy mỏi sau hàng triệu vòng quay không (SD), có võng quá nhiều làm bánh răng ăn khớp lệch không, có xoắn quá mức không và có quay gần tốc độ cộng hưởng không.
Hình dung đơn giản
Hãy tưởng tượng
Bẻ đi bẻ lại một sợi dây thép: mỗi lần chỉ bẻ nhẹ nhưng sau nhiều lần thì gãy. Trục quay cũng vậy: lực F đứng yên nhưng trục quay, nên mỗi thớ thép lần lượt bị kéo rồi nén mỗi vòng. Sau hàng triệu vòng, vết nứt nhỏ ở góc rãnh then lớn dần và trục gãy. Vì thế với trục, bền mỏi thường quyết định chứ không phải bền tĩnh.
Kiến thức nền cần có
Đọc lại các mục sau ở Chương 0 nếu chưa nắm chắc: 0.4 mô-men · 0.5 ứng suất · 0.6 vật liệu · 0.7 hệ số an toàn · 0.8 uốn · 0.9 xoắn · 0.11 chuyển động quay · 0.14 mỏi
Các đại lượng và lấy số liệu ở đâu
| Ký hiệu | Ý nghĩa | Đơn vị | Lấy số liệu ở đâu |
|---|---|---|---|
| F, l, a, x | Lực hướng kính; khoảng cách 2 gối; vị trí lực và vị trí tiết diện kiểm tra tính từ gối A | N, mm | Bản vẽ lắp; F lấy từ lực ăn khớp (CT18) hoặc tải lên trục của đai, xích (CT25–CT27) |
| T, Ta/T | Mô-men xoắn và tỉ lệ dao động của nó (0 = không đổi, 1 = đổi chiều hoàn toàn) | Nm, – | CT17; máy chạy một chiều đều đặn thì Ta/T = 0 |
| d | Đường kính trục tại tiết diện kiểm tra | mm | Từ CT13 hoặc bản vẽ |
| KA | Hệ số tải đỉnh: tải lớn nhất / tải danh nghĩa (khởi động, kẹt máy) | – | Lấy theo tải đỉnh thật. Động cơ không đồng bộ khởi động trực tiếp có mô-men khởi động và mô-men cực đại khoảng 2–3 lần mô-men định mức (xem catalogue động cơ), nên thường KA ≈ 2–3; nếu có ly hợp an toàn thì lấy theo mô-men trượt của ly hợp |
| σB, σS, dB, deff | Giới hạn bền, giới hạn chảy (theo mẫu chuẩn dB), đường kính phôi khi nhiệt luyện | MPa, mm | DIN 743-3 và EN 10083; xem Bảng vật liệu trục bên dưới. deff: đường kính phôi lúc tôi (thường lớn hơn d vài mm do còn lượng dư gia công) |
| K1 | Hệ số giảm bền do phôi to, tôi không thấu | – | Công cụ gợi ý K1g = 1 − 0,26·lg(deff/16) – công thức DIN 743-2 cho thép tôi ram, áp cho σB, 16 < deff ≤ 300 mm. Với giới hạn chảy σS, DIN 743-2 dùng K1 = 1 − 0,34·lg(deff/16) (nhỏ hơn); khi SF sát Smin nên nhập K1 theo công thức này để kiểm tra tĩnh an toàn hơn |
| βσ, βτ | Hệ số tập trung ứng suất hiệu dụng khi uốn, khi xoắn tại rãnh/vai trục | – | Rãnh then phay bằng dao phay ngón: βσ = 3,0·(σB/1000)^0,38 (giá trị tại d = 40 mm), βτ = 0,56·βσ + 0,1 (DIN 743-2), công cụ gợi ý sẵn ở dòng 16 và 18; vai trục r/d = 0,05 ≈ 1,8–2,2 (tra chính xác theo r, D/d và σB trong DIN 743-2); trục trơn 1,0 |
| Rz, KV, γF | Độ nhám, hệ số tăng bền bề mặt, hệ số nâng giới hạn chảy tại rãnh | µm, – | Tiện tinh Rz 6,3, mài 1,6–3,2; KV = 1 nếu không xử lý bề mặt, các giá trị KV > 1 cho phun bi, cán lăn, thấm tôi lấy theo DIN 743-2; γF = 1,0–1,15 theo DIN 743-1, phụ thuộc dạng rãnh và βσ |
| E, G, lt, m, n | Mô-đun đàn hồi, mô-đun trượt, chiều dài đoạn chịu xoắn, khối lượng lắp trên trục, tốc độ làm việc | MPa, mm, kg, v/ph | Thép: E = 210 000, G = 81 000; m từ bản vẽ bánh răng, puly. Góc xoắn tính trên 1 m nên lt không làm thay đổi kết quả φ |
Bảng vật liệu trục thông dụng (đường kính mẫu chuẩn dB = 16 mm)
| Mác thép | Trạng thái | σB(dB), MPa | σS(dB), MPa |
|---|---|---|---|
| C45 | Thường hóa (+N) | 620 | 340 |
| C45 | Tôi ram (+QT) | 700 | 490 |
| 42CrMo4 | Tôi ram (+QT) | 1 100 | 900 |
| 34CrNiMo6 | Tôi ram (+QT) | 1 200 | 1 000 |
Xây dựng công thức từng bước
Công thức tổng quát không “từ trên trời rơi xuống”: nó được ghép từ những công thức con đơn giản. Đi lần lượt từng bước:
Bước 1. Phản lực gối và mô-men uốn tại tiết diện
Coi trục là dầm 2 gối. Cân bằng mô-men cho phản lực, rồi mô-men uốn tại x bằng phản lực nhân khoảng cách:
RA = F·b/l ; RB = F·a/l ; Mb = RA·x (x ≤ a) hoặc RB·(l − x)
Bước 2. Ứng suất danh nghĩa
Trục quay nên uốn đổi chiều (chỉ có biên độ σba). Xoắn có phần trung bình τtm và biên độ τta:
σba = Mb/Wb, Wb = π·d³/32 ; τtm = T/Wt, Wt = π·d³/16 ; τta = (Ta/T)·τtm
Bước 3. Giới hạn mỏi của chính chi tiết
Mẫu thép nhẵn chịu được σbW = 0,5·σB khi uốn đổi chiều và τtW = 0,3·σB khi xoắn đổi chiều (DIN 743-3). Trục thật yếu hơn do rãnh (βσ), kích thước (K2), độ nhám (KFσ); bề mặt được tăng bền thì khỏe hơn (KV). Gộp lại thành hệ số Kσ (Kτ tính tương tự với βτ, KFτ):
Kσ = (βσ/K2 + 1/KFσ − 1)/KV ; σbWK = 0,5·σB·K1/Kσ ; τtWK = 0,3·σB·K1/Kτ
Bước 4. Trừ ảnh hưởng ứng suất trung bình
Ứng suất trung bình (ở đây chủ yếu do xoắn không đổi) làm giảm biên độ mỏi cho phép một chút, theo độ nhạy ψσK = σbWK/(2·K1·σB − σbWK). Công cụ dùng trường hợp ứng suất trung bình không đổi khi tải thay đổi (trường hợp 1 của DIN 743-1); σzd ở đây là ứng suất kéo/nén trung bình do Fax:
σmv = √(σzd² + 3·τtm²) ; σbADK = σbWK − ψσK·σmv
Bước 5. Hệ số an toàn mỏi
So biên độ thực với biên độ cho phép của uốn và xoắn, gộp theo căn tổng bình phương. Với mỏi, F và T là tải làm việc thường xuyên (không nhân KA). Smin = 1,2 là mức tối thiểu của DIN 743-1, chỉ bù sai số của phương pháp tính, khi tải chưa chắc chắn nên lấy lớn hơn:
SD = 1 / √[(σba/σbADK)² + (τta/τtADK)²] ≥ Smin
Bước 6. Hệ số an toàn tĩnh
Tải đỉnh = KA × tải danh nghĩa, so với giới hạn chảy của chi tiết σbFK = K1·K2F·γF·σS, trong đó K2F = 1,2 là hệ số tựa tĩnh cho trục đặc chịu uốn, xoắn (kéo/nén K2F = 1,0) và τtFK = σbFK/√3:
SF = 1 / √[(σzd,max/σzdFK + σb,max/σbFK)² + (τmax/τtFK)²] ≥ Smin
Bước 7. Độ võng, góc xoắn, tốc độ tới hạn
Võng tại vị trí lực theo dầm 2 gối; góc xoắn theo mô-men quán tính cực; tốc độ tới hạn theo Rayleigh từ độ võng do trọng lượng chi tiết lắp trên trục (coi trục không có khối lượng). Giới hạn f ≤ 0,0003·l cho trục máy nói chung và f ≤ 0,01·m tại vị trí bánh răng trụ (m là mô-đun) là giá trị kinh nghiệm thường dùng trong thiết kế máy; I tính với đường kính d không đổi trên cả chiều dài nên trục bậc thực tế võng nhiều hơn một chút:
f = F·a²·b²/(3·E·I·l) ≤ 0,0003·l ; φ = T·l/(G·Ip) ; nk = (30/π)·√(g/fst)
Ảnh động minh họa
Lời giải mẫu từng bước (số liệu mẫu của công cụ tính ở đầu trang)
Bước A – Số liệu đầu vào (ô vàng của công cụ tính). Đây là bộ số ví dụ có sẵn; khi làm thật bạn thay bằng số của mình:
| TT | Đại lượng | Ký hiệu | Giá trị | Đơn vị | Ghi chú / nguồn |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Lực hướng kính | F | 5 000 | N | |
| 2 | Khoảng cách 2 gối | l | 200 | mm | |
| 3 | Vị trí lực tính từ gối A | a | 80 | mm | |
| 4 | Vị trí tiết diện kiểm tra tính từ A | x | 75 | mm | Thường là đầu rãnh then, vai trục cạnh ổ |
| 5 | Mô-men xoắn | T | 300 | Nm | |
| 6 | Tỉ lệ dao động mô-men xoắn Ta/T | Ta | 0 | 0 = xoắn không đổi; 1 = xoắn đổi chiều hoàn toàn | |
| 7 | Lực dọc trục | Fax | 0 | N | |
| 8 | Đường kính trục tại tiết diện | d | 40 | mm | |
| 9 | Hệ số tải đỉnh (cho kiểm tra tĩnh) | KA | 2 | Tỉ số tải lớn nhất / tải danh nghĩa (khởi động, kẹt máy) | |
| 10 | Giới hạn bền σB(dB) | σB | 1 100 | MPa | 42CrMo4 tôi ram: 1100 / 900 / dB 16 · C45 tôi ram: 700 / 490 / dB 16 · C45 thường hóa: 620 / 340 / dB 16 · 34CrNiMo6: 1200 / 1000 / dB 16 |
| 11 | Giới hạn chảy σS(dB) | σS | 900 | MPa | |
| 12 | Đường kính mẫu chuẩn | dB | 16 | mm | |
| 13 | Đường kính phôi khi nhiệt luyện | deff | 45 | mm | |
| 15 | Hệ số kích thước công nghệ K1 (dùng tính) | K1 | 0,9 | Nhập theo gợi ý trên hoặc DIN 743-2 | |
| 17 | Hệ số tập trung ứng suất hiệu dụng uốn βσ | βσ | 3,1 | Rãnh then: theo gợi ý · vai trục r/d=0,05: ≈1,8–2,2 · trơn: 1,0 | |
| 19 | Hệ số tập trung ứng suất hiệu dụng xoắn βτ | βτ | 1,84 | ||
| 20 | Độ nhám Rz | Rz | 6,3 | µm | Tiện tinh 6,3 · mài 1,6–3,2 |
| 21 | Hệ số tăng bền bề mặt | KV | 1 | 1 = không xử lý; cán lăn/phun bi 1,1–1,3; thấm tôi 1,2–2 | |
| 22 | Hệ số nâng giới hạn chảy tại rãnh γF | γF | 1,05 | 1,0–1,15 tùy độ sắc rãnh | |
| 23 | Hệ số an toàn tối thiểu | Smin | 1,2 | ||
| 51 | Mô-đun đàn hồi | E | 210 000 | MPa | |
| 52 | Mô-đun trượt | G | 81 000 | MPa | |
| 53 | Chiều dài đoạn chịu xoắn | lt | 150 | mm | |
| 54 | Khối lượng lắp trên trục tại vị trí lực | m | 10 | kg | Bánh răng, puly… |
| 59 | Góc xoắn cho phép | φzul | 1 | °/m | Kinh nghiệm: trục truyền dẫn dài 0,25 °/m; trục máy thông thường 0,5–1 °/m |
| 63 | Tốc độ làm việc | n | 1 450 | v/ph |
Bước B – Tính lần lượt (web tự tính, bạn có thể bấm tay để kiểm tra lại). Dòng xanh lá là kết quả chính:
| TT | Đại lượng | Ký hiệu | Kết quả | Đơn vị | Công thức / cách tính |
|---|---|---|---|---|---|
| 14 | K1(deff) gợi ý cho thép tôi ram | K1g | 0,883 | Gợi ý xấp xỉ – giảm bền do tôi không thấu. Tra đúng công thức DIN 743-2 theo nhóm thép rồi nhập vào ô K1 bên dưới | |
| 16 | βσ gợi ý cho rãnh then phay ngón | bsg | 3,11 | βσ(dBK=40) = 3,0·(σB/1000)^0,38 (DIN 743-2, rãnh then) | |
| 18 | βτ gợi ý cho rãnh then | btg | 1,84 | βτ = 0,56·βσ + 0,1 | |
| 24 | Khoảng cách lực tới gối B | b | 120 | mm | b = l − a |
| 25 | Phản lực gối A | RA | 3 000 | N | RA = F·b/l |
| 26 | Phản lực gối B | RB | 2 000 | N | RB = F·a/l |
| 27 | Mô-men uốn tại tiết diện x | Mb | 225 000 | Nmm | Mb = RA·x (x≤a) hoặc RB·(l−x) |
| 28 | Mô-men chống uốn | Wb | 6 283 | mm³ | Wb = π·d³/32 |
| 29 | Biên độ ứng suất uốn | σba | 35,81 | MPa | σba = Mb/Wb (trục quay → uốn đổi chiều) |
| 30 | Ứng suất xoắn trung bình | τtm | 23,87 | MPa | τtm = T/Wt, Wt = π·d³/16 |
| 31 | Biên độ ứng suất xoắn | τta | 0 | MPa | τta = (Ta/T)·τtm |
| 32 | Ứng suất kéo/nén | σzd | 0 | MPa | σzd = Fax/(π·d²/4) |
| 33 | Hệ số kích thước hình học K2(d) | K2 | 0,888 | K2 = 1 − 0,2·lg(d/7,5)/lg20 (7,5 ≤ d < 150) | |
| 34 | Hệ số nhám KFσ | KFσ | 0,878 | KFσ = 1 − 0,22·lg(Rz)·(lg(σB(d)/20) − 1) | |
| 35 | Hệ số nhám KFτ | KFτ | 0,93 | KFτ = 0,575·KFσ + 0,425 | |
| 36 | Hệ số tổng Kσ | Kσ | 3,63 | Kσ = (βσ/K2 + 1/KFσ − 1)/KV | |
| 37 | Hệ số tổng Kτ | Kτ | 2,15 | Kτ = (βτ/K2 + 1/KFτ − 1)/KV | |
| 38 | Giới hạn mỏi uốn của chi tiết | σbWK | 136,4 | MPa | σbWK = 0,5·σB·K1/Kσ (σbW = 0,5σB, thép) |
| 39 | Giới hạn mỏi xoắn của chi tiết | τtWK | 138,3 | MPa | τtWK = 0,3·σB·K1/Kτ (τtW = 0,3σB) |
| 40 | Độ nhạy ứng suất trung bình ψσK | ψσK | 0,074 | ψσK = σbWK/(2·K1·σB − σbWK) | |
| 41 | Độ nhạy ứng suất trung bình ψτK | ψτK | 0,0751 | ψτK = τtWK/(2·K1·σB − τtWK) | |
| 42 | Ứng suất trung bình tương đương | σmv | 41,35 | MPa | σmv = √((σzdm+σbm)² + 3τtm²) |
| 43 | Biên độ mỏi cho phép – uốn | σbADK | 133,3 | MPa | σbADK = σbWK − ψσK·σmv (σmv không đổi) |
| 44 | Biên độ mỏi cho phép – xoắn | τtADK | 136,5 | MPa | τtADK = τtWK − ψτK·τmv, τmv = σmv/√3 |
| 45 | HỆ SỐ AN TOÀN MỎI | SD | 3,72 | SD = 1/√[(σba/σbADK)² + (τta/τtADK)²] | |
| 46 | SD ≥ Smin | Kiểm tra | ĐẠT | ||
| 47 | Giới hạn chảy uốn của chi tiết | σbFK | 1 021 | MPa | σbFK = K1·K2F·γF·σS, K2F = 1,2 (trục đặc) |
| 48 | Giới hạn chảy xoắn của chi tiết | τtFK | 589,2 | MPa | τtFK = K1·K2F·γF·σS/√3 |
| 49 | HỆ SỐ AN TOÀN TĨNH | SF | 9,33 | SF = 1/√[(σzd,max/σzdFK + σb,max/σbFK)² + (τmax/τtFK)²] | |
| 50 | SF ≥ Smin | Kiểm tra | ĐẠT | ||
| 55 | Mô-men quán tính | I | 125 664 | mm⁴ | I = π·d⁴/64 (tính gần đúng trục đường kính đều d) |
| 56 | Độ võng tại vị trí lực | f | 0,0291 | mm | f = F·a²·b²/(3·E·I·l) |
| 57 | f ≤ 0,0003·l (trục truyền động chung) | Kiểm tra | ĐẠT | Vị trí bánh răng: f ≤ 0,01·m | |
| 58 | Góc xoắn trên 1 m | φ | 0,844 | °/m | φ = T·l/(G·Ip), Ip = π·d⁴/32 |
| 60 | φ ≤ φzul | Kiểm tra | ĐẠT | ||
| 61 | Độ võng tĩnh do trọng lượng | fst | 0,000571 | mm | fst = m·g·a²·b²/(3EIl) |
| 62 | Tốc độ tới hạn uốn | nk | 39 581 | v/ph | nk = (30/π)·√(g/fst) (Rayleigh, bỏ qua khối lượng trục) |
| 64 | n ≤ 0,7·nk hoặc n ≥ 1,3·nk | Kiểm tra | ĐẠT |
Bước C – Kết luận ví dụ
Kết quả chính: HỆ SỐ AN TOÀN MỎI = 3,72; HỆ SỐ AN TOÀN TĨNH = 9,33; Độ võng tại vị trí lực = 0,0291 mm; Tốc độ tới hạn uốn = 39 581 v/ph.
Kiểm tra: SD ≥ Smin: ĐẠT; SF ≥ Smin: ĐẠT; f ≤ 0,0003·l (trục truyền động chung): ĐẠT; φ ≤ φzul: ĐẠT; n ≤ 0,7·nk hoặc n ≥ 1,3·nk: ĐẠT.
Kết luận: trục d = 40 mm, thép 42CrMo4 tôi ram, tại tiết diện có rãnh then x = 75 mm ĐẠT cả 5 điều kiện: SD = 3,72 và SF = 9,33 đều ≥ Smin = 1,2; f = 0,0291 mm ≤ 0,0003·200 = 0,06 mm; φ = 0,844 °/m ≤ 1 °/m; n = 1 450 v/ph < 0,7·39 581 v/ph. Dự trữ rất lớn (SD gấp 3 lần Smin) nên có thể thử giảm d hoặc dùng C45 tôi ram rồi kiểm tra lại.
Nếu đổi số liệu ở ô vàng, mọi kết quả tự tính lại. Ô nào báo KHÔNG ĐẠT thì xem mục Áp dụng thực tế bên dưới để biết cần sửa gì.
Áp dụng thực tế và lưu ý
- Nếu SD không đạt: tăng bán kính góc lượn ở vai trục, chuyển rãnh then ra xa chỗ mô-men uốn lớn, dùng thép tốt hơn (42CrMo4), mài hoặc phun bi bề mặt (KV > 1). Tăng đường kính là cách chắc chắn nhất.
- Phải kiểm tra từng tiết diện nguy hiểm riêng: chỗ Mb lớn nhất chưa chắc là chỗ nguy hiểm nhất, vì một vai trục sắc ở chỗ Mb nhỏ hơn có thể có βσ cao hơn nhiều.
- Độ võng tại vị trí bánh răng nên ≤ 0,01·m (m là mô-đun) để răng ăn khớp đều; quá võng làm KHβ ở CT18 tăng.
- Tốc độ làm việc phải tránh vùng 0,7–1,3 lần tốc độ tới hạn. Công thức bỏ qua khối lượng trục và chỉ xét một khối lượng nên chỉ là ước lượng; trục dài, nhiều chi tiết thì tính theo công thức Dunkerley hoặc phần mềm.
- Công cụ chỉ xét một lực hướng kính trong một mặt phẳng. Trục có nhiều lực (bánh răng nghiêng có lực dọc trục, lực ở hai mặt phẳng) thì phải tính mô-men uốn tổng tại tiết diện Mb = √(Mby² + Mbz²) và ứng suất do lực dọc trục, rồi kiểm tra theo cùng các công thức DIN 743 ở trên; kết quả của công cụ khi đó chỉ là gần đúng.
Căn cứ và tài liệu tham khảo
- DIN 743-1:2012 (Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen – Grundlagen) – hệ số an toàn mỏi SD và tĩnh SF, ứng suất trung bình tương đương σmv, biên độ mỏi cho phép σADK, Smin = 1,2, hệ số K2F, γF.
- DIN 743-2:2012 (Formzahlen und Kerbwirkungszahlen) – βσ, βτ của rãnh then, hệ số kích thước K1(deff), K2(d), hệ số nhám KFσ, KFτ, hệ số bề mặt KV.
- DIN 743-3:2012 (Werkstoff-Festigkeitswerte) – σbW = 0,5·σB, τtW = 0,3·σB và σB(dB), σS(dB) của thép.
- EN 10083-2, EN 10083-3 (thép tôi ram) – giới hạn bền, giới hạn chảy trong Bảng vật liệu trục.
- Roloff/Matek – Maschinenelemente, chương Achsen, Wellen und Zapfen – độ võng dầm hai gối, góc xoắn, tốc độ tới hạn uốn theo Rayleigh; giới hạn góc xoắn 0,25 °/m cho trục truyền dẫn dài.