Giải thích chi tiết: Trục – bền tĩnh, bền mỏi, độ cứng, tốc độ tới hạn

Bài toán dùng để làm gì

Kiểm tra đầy đủ một trục 2 gối đỡ chịu một lực hướng kính F (từ bánh răng, puly, xích) và mô-men xoắn T, tại một tiết diện nguy hiểm (đầu rãnh then, vai trục). Bài toán trả lời: trục có gãy do quá tải đỉnh không (SF), có gãy mỏi sau hàng triệu vòng quay không (SD), có võng quá nhiều làm bánh răng ăn khớp lệch không, có xoắn quá mức không và có quay gần tốc độ cộng hưởng không.

Hình dung đơn giản

Kiến thức nền cần có

Đọc lại các mục sau ở Chương 0 nếu chưa nắm chắc: 0.4 mô-men · 0.5 ứng suất · 0.6 vật liệu · 0.7 hệ số an toàn · 0.8 uốn · 0.9 xoắn · 0.11 chuyển động quay · 0.14 mỏi

Các đại lượng và lấy số liệu ở đâu

Ký hiệu	Ý nghĩa	Đơn vị	Lấy số liệu ở đâu
F, l, a, x	Lực hướng kính; khoảng cách 2 gối; vị trí lực và vị trí tiết diện kiểm tra tính từ gối A	N, mm	Bản vẽ lắp; F lấy từ lực ăn khớp (CT18) hoặc tải lên trục của đai, xích (CT25–CT27)
T, Ta/T	Mô-men xoắn và tỉ lệ dao động của nó (0 = không đổi, 1 = đổi chiều hoàn toàn)	Nm, –	CT17; máy chạy một chiều đều đặn thì Ta/T = 0
d	Đường kính trục tại tiết diện kiểm tra	mm	Từ CT13 hoặc bản vẽ
KA	Hệ số tải đỉnh: tải lớn nhất / tải danh nghĩa (khởi động, kẹt máy)	–	Thường 1,5–3
σB, σS, dB, deff	Giới hạn bền, giới hạn chảy (theo mẫu chuẩn dB), đường kính phôi khi nhiệt luyện	MPa, mm	DIN 743-3; ví dụ 42CrMo4 tôi ram 1100/900 MPa, C45 thường hóa 700/490 MPa
K1	Hệ số giảm bền do phôi to, tôi không thấu	–	Sheet gợi ý K1g; tra đúng theo DIN 743-2 rồi nhập
βσ, βτ	Hệ số tập trung ứng suất hiệu dụng khi uốn, khi xoắn tại rãnh/vai trục	–	Rãnh then theo gợi ý trên trang tính; vai trục r/d = 0,05 ≈ 1,8–2,2; trục trơn 1,0
Rz, KV, γF	Độ nhám, hệ số tăng bền bề mặt, hệ số nâng giới hạn chảy tại rãnh	µm, –	Tiện tinh Rz 6,3, mài 1,6–3,2; KV = 1 nếu không xử lý bề mặt
E, G, lt, m, n	Mô-đun đàn hồi, mô-đun trượt, chiều dài đoạn chịu xoắn, khối lượng lắp trên trục, tốc độ làm việc	MPa, mm, kg, v/ph	Thép: E = 210 000, G = 81 000; m từ bản vẽ bánh răng, puly

Xây dựng công thức từng bước

Công thức tổng quát không "từ trên trời rơi xuống": nó được ghép từ những công thức con đơn giản. Đi lần lượt từng bước:

Bước 1. Phản lực gối và mô-men uốn tại tiết diện

Coi trục là dầm 2 gối. Cân bằng mô-men cho phản lực, rồi mô-men uốn tại x bằng phản lực nhân khoảng cách:

RA = F·b/l ; RB = F·a/l ; Mb = RA·x (x ≤ a) hoặc RB·(l − x)

Bước 2. Ứng suất danh nghĩa

Trục quay nên uốn đổi chiều (chỉ có biên độ σba). Xoắn có phần trung bình τtm và biên độ τta:

σba = Mb/Wb, Wb = π·d³/32 ; τtm = T/Wt, Wt = π·d³/16 ; τta = (Ta/T)·τtm

Bước 3. Giới hạn mỏi của chính chi tiết

Thép mẫu nhẵn chịu được σbW = 0,5·σB khi uốn đổi chiều. Trục thật yếu hơn do rãnh (βσ), kích thước (K2), độ nhám (KFσ). Gộp lại thành hệ số Kσ:

Kσ = (βσ/K2 + 1/KFσ − 1)/KV ; σbWK = 0,5·σB·K1/Kσ ; τtWK = 0,3·σB·K1/Kτ

Bước 4. Trừ ảnh hưởng ứng suất trung bình

Ứng suất trung bình (ở đây chủ yếu do xoắn không đổi) làm giảm biên độ mỏi cho phép một chút, theo độ nhạy ψ:

σmv = √(σzd² + 3·τtm²) ; σbADK = σbWK − ψσK·σmv

Bước 5. Hệ số an toàn mỏi

So biên độ thực với biên độ cho phép của uốn và xoắn, gộp theo căn tổng bình phương:

SD = 1 / √[(σba/σbADK)² + (τta/τtADK)²] ≥ Smin

Bước 6. Hệ số an toàn tĩnh

Tải đỉnh = KA × tải danh nghĩa, so với giới hạn chảy của chi tiết (K1·1,2·γF·σS):

SF = 1 / √[(σzd,max/σzdFK + σb,max/σbFK)² + (τmax/τtFK)²] ≥ Smin

Bước 7. Độ võng, góc xoắn, tốc độ tới hạn

Võng tại vị trí lực theo dầm 2 gối; góc xoắn theo mô-men quán tính cực; tốc độ tới hạn theo Rayleigh từ độ võng do trọng lượng chi tiết lắp trên trục:

f = F·a²·b²/(3·E·I·l) ≤ 0,0003·l ; φ = T·l/(G·Ip) ; nk = (30/π)·√(g/fst)

Hình CT14.2 – Sơ đồ hình thành công thức: số liệu → từng công thức con → kết luận

Ảnh động minh họa

Lời giải mẫu từng bước (số liệu mẫu của công cụ tính ở đầu trang)

Bước A – Số liệu đầu vào (ô vàng của công cụ tính). Đây là bộ số ví dụ có sẵn; khi làm thật bạn thay bằng số của mình:

TT	Đại lượng	Ký hiệu	Giá trị	Đơn vị	Ghi chú / nguồn
1	Lực hướng kính	F	5 000	N
2	Khoảng cách 2 gối	l	200	mm
3	Vị trí lực tính từ gối A	a	80	mm
4	Vị trí tiết diện kiểm tra tính từ A	x	75	mm	Thường là đầu rãnh then, vai trục cạnh ổ
5	Mô-men xoắn	T	300	Nm
6	Tỉ lệ dao động mô-men xoắn Ta/T	Ta	0		0 = xoắn không đổi; 1 = xoắn đổi chiều hoàn toàn
7	Lực dọc trục	Fax	0	N
8	Đường kính trục tại tiết diện	d	40	mm
9	Hệ số tải đỉnh (cho kiểm tra tĩnh)	KA	2		Tỉ số tải lớn nhất / tải danh nghĩa (khởi động, kẹt máy)
10	Giới hạn bền σB(dB)	σB	1 100	MPa	42CrMo4 tôi ram: 1100 / 900 / dB 16 · C45 thường hóa: 700 / 490 / dB 16 · 34CrNiMo6: 1200 / 1000 / dB 16
11	Giới hạn chảy σS(dB)	σS	900	MPa
12	Đường kính mẫu chuẩn	dB	16	mm
13	Đường kính phôi khi nhiệt luyện	deff	45	mm
15	Hệ số kích thước công nghệ K1 (dùng tính)	K1	0,9		Nhập theo gợi ý trên hoặc DIN 743-2
17	Hệ số tập trung ứng suất hiệu dụng uốn βσ	βσ	3,1		Rãnh then: theo gợi ý · vai trục r/d=0,05: ≈1,8–2,2 · trơn: 1,0
19	Hệ số tập trung ứng suất hiệu dụng xoắn βτ	βτ	1,84
20	Độ nhám Rz	Rz	6,3	µm	Tiện tinh 6,3 · mài 1,6–3,2
21	Hệ số tăng bền bề mặt	KV	1		1 = không xử lý; cán lăn/phun bi 1,1–1,3; thấm tôi 1,2–2
22	Hệ số nâng giới hạn chảy tại rãnh γF	γF	1,05		1,0–1,15 tùy độ sắc rãnh
23	Hệ số an toàn tối thiểu	Smin	1,2
51	Mô-đun đàn hồi	E	210 000	MPa
52	Mô-đun trượt	G	81 000	MPa
53	Chiều dài đoạn chịu xoắn	lt	150	mm
54	Khối lượng lắp trên trục tại vị trí lực	m	10	kg	Bánh răng, puly…
59	Góc xoắn cho phép	φzul	1	°/m	Kinh nghiệm: trục truyền dẫn dài 0,25 °/m; trục máy thông thường 0,5–1 °/m
63	Tốc độ làm việc	n	1 450	v/ph

Bước B – Tính lần lượt (web tự tính, bạn có thể bấm tay để kiểm tra lại). Dòng xanh lá là kết quả chính:

TT	Đại lượng	Ký hiệu	Kết quả	Đơn vị	Công thức / cách tính
14	K1(deff) gợi ý cho thép tôi ram	K1g	0,883		Gợi ý xấp xỉ – giảm bền do tôi không thấu. Tra đúng công thức DIN 743-2 theo nhóm thép rồi nhập vào ô K1 bên dưới
16	βσ gợi ý cho rãnh then phay ngón	bsg	3,11		βσ(dBK=40) = 3,0·(σB/1000)^0,38 (DIN 743-2, rãnh then)
18	βτ gợi ý cho rãnh then	btg	1,84		βτ = 0,56·βσ + 0,1
24	Khoảng cách lực tới gối B	b	120	mm	b = l − a
25	Phản lực gối A	RA	3 000	N	RA = F·b/l
26	Phản lực gối B	RB	2 000	N	RB = F·a/l
27	Mô-men uốn tại tiết diện x	Mb	225 000	Nmm	Mb = RA·x (x≤a) hoặc RB·(l−x)
28	Mô-men chống uốn	Wb	6 283	mm³	Wb = π·d³/32
29	Biên độ ứng suất uốn	σba	35,81	MPa	σba = Mb/Wb (trục quay → uốn đổi chiều)
30	Ứng suất xoắn trung bình	τtm	23,87	MPa	τtm = T/Wt, Wt = π·d³/16
31	Biên độ ứng suất xoắn	τta	0	MPa	τta = (Ta/T)·τtm
32	Ứng suất kéo/nén	σzd	0	MPa	σzd = Fax/(π·d²/4)
33	Hệ số kích thước hình học K2(d)	K2	0,888		K2 = 1 − 0,2·lg(d/7,5)/lg20 (7,5 ≤ d < 150)
34	Hệ số nhám KFσ	KFσ	0,878		KFσ = 1 − 0,22·lg(Rz)·(lg(σB(d)/20) − 1)
35	Hệ số nhám KFτ	KFτ	0,93		KFτ = 0,575·KFσ + 0,425
36	Hệ số tổng Kσ	Kσ	3,63		Kσ = (βσ/K2 + 1/KFσ − 1)/KV
37	Hệ số tổng Kτ	Kτ	2,15		Kτ = (βτ/K2 + 1/KFτ − 1)/KV
38	Giới hạn mỏi uốn của chi tiết	σbWK	136,4	MPa	σbWK = 0,5·σB·K1/Kσ (σbW = 0,5σB, thép)
39	Giới hạn mỏi xoắn của chi tiết	τtWK	138,3	MPa	τtWK = 0,3·σB·K1/Kτ (τtW = 0,3σB)
40	Độ nhạy ứng suất trung bình ψσK	ψσK	0,074		ψσK = σbWK/(2·K1·σB − σbWK)
41	Độ nhạy ứng suất trung bình ψτK	ψτK	0,0751		ψτK = τtWK/(2·K1·σB − τtWK)
42	Ứng suất trung bình tương đương	σmv	41,35	MPa	σmv = √((σzdm+σbm)² + 3τtm²)
43	Biên độ mỏi cho phép – uốn	σbADK	133,3	MPa	σbADK = σbWK − ψσK·σmv (σmv không đổi)
44	Biên độ mỏi cho phép – xoắn	τtADK	136,5	MPa	τtADK = τtWK − ψτK·τmv, τmv = σmv/√3
45	HỆ SỐ AN TOÀN MỎI	SD	3,72		SD = 1/√[(σba/σbADK)² + (τta/τtADK)²]
46	SD ≥ Smin	Kiểm tra	ĐẠT
47	Giới hạn chảy uốn của chi tiết	σbFK	1 021	MPa	σbFK = K1·K2F·γF·σS, K2F = 1,2 (trục đặc)
48	Giới hạn chảy xoắn của chi tiết	τtFK	589,2	MPa	τtFK = K1·K2F·γF·σS/√3
49	HỆ SỐ AN TOÀN TĨNH	SF	9,33		SF = 1/√[(σzd,max/σzdFK + σb,max/σbFK)² + (τmax/τtFK)²]
50	SF ≥ Smin	Kiểm tra	ĐẠT
55	Mô-men quán tính	I	125 664	mm⁴	I = π·d⁴/64 (tính gần đúng trục đường kính đều d)
56	Độ võng tại vị trí lực	f	0,0291	mm	f = F·a²·b²/(3·E·I·l)
57	f ≤ 0,0003·l (trục truyền động chung)	Kiểm tra	ĐẠT		Vị trí bánh răng: f ≤ 0,01·m
58	Góc xoắn trên 1 m	φ	0,844	°/m	φ = T·l/(G·Ip), Ip = π·d⁴/32
60	φ ≤ φzul	Kiểm tra	ĐẠT
61	Độ võng tĩnh do trọng lượng	fst	0,000571	mm	fst = m·g·a²·b²/(3EIl)
62	Tốc độ tới hạn uốn	nk	39 581	v/ph	nk = (30/π)·√(g/fst) (Rayleigh, bỏ qua khối lượng trục)
64	n ≤ 0,7·nk hoặc n ≥ 1,3·nk	Kiểm tra	ĐẠT

Áp dụng thực tế và lưu ý

Nếu SD không đạt: tăng bán kính góc lượn ở vai trục, chuyển rãnh then ra xa chỗ mô-men uốn lớn, dùng thép tốt hơn (42CrMo4), mài hoặc phun bi bề mặt (KV > 1). Tăng đường kính là cách chắc chắn nhất.
Phải kiểm tra từng tiết diện nguy hiểm riêng: chỗ Mb lớn nhất chưa chắc là chỗ nguy hiểm nhất, vì một vai trục sắc ở chỗ Mb nhỏ hơn có thể có βσ cao hơn nhiều.
Độ võng tại vị trí bánh răng nên ≤ 0,01·m (m là mô-đun) để răng ăn khớp đều; quá võng làm KHβ ở CT18 tăng.
Tốc độ làm việc phải tránh vùng 0,7–1,3 lần tốc độ tới hạn. Công thức bỏ qua khối lượng trục nên chỉ là ước lượng.